袁巍:数学是“做”出来的 2010-05-07
□本报记者 潘希
 
不久前,美国《国家科学院院刊》(PNAS)罕见地以两篇长文刊登了中科院数学与系统科学研究院袁巍的博士论文的部分内容。28岁的袁巍现任中科院数学院“陈景润未来之星”特聘助理研究员,在他的博士论文中,引进并研究了一类结构丰富的算子代数,首次揭示了连续几何与古典几何之间的某种深刻联系。
 
“整篇中文论文是70多页,翻译成英文是35页。但是PNAS的惯例是所发表的文章最多不能超过6页。主编对我们说可以全文发,我们就删掉了一些计算细节,分成上下两篇发表。博士论文在PNAS上几乎全文发表,这在以前还从来没有过。”自己的学生取得如此令人欣慰的成绩,拿着论文预印本的中科院数学院研究员葛力明,在接受《科学时报》记者采访时也难以掩饰自己的兴奋。
 
其实,袁巍接触这个课题只有短短3年的时间,之所以能如此迅速地取得成果,用葛力明的话说,“是因为他有着与众不同的学习态度和动手能力”。
 
会想不如会做
 
2003年从中国科学技术大学本科毕业后,袁巍来到中科院数学院继续研究生学习,并于1年后开始跟随导师葛力明研究员学习算子代数。
 
在采访中,袁巍说得最多的一句话就是:“数学是‘做’出来的,很多东西是‘在手上’。”所谓“在手上”,也就是碰到任何问题,都愿意亲自去算一算。
 
“我带过的学生中,不乏众多名校毕业的优秀学生,但相对于亲手去计算看似简单的问题,他们更想去知道解决这样的问题是否有意义。在我每天下午开的讨论班上,袁巍是唯一 一个工整记笔记,之后还交给我的学生。”葛力明也赞同多动手的做法,他认为学问“在手上”是真正学会了,在脑子里永远是“似乎”会了,离“真正”会还有一段距离。
 
“很少有人能把数学中的各种公理诞生之初要解决的问题讲清楚,很多人执著于数学技巧,这是数学文化上的缺失,也让很多学生变得眼高手低。”葛力明说。
 
袁巍说:“讨论班上老师会介绍很多问题,拿到问题我就要去做一下,而且做的过程本身也是学习的过程。我感觉动手做问题的时候比看教科书学习知识更快。”
 
正是如此,这也使得袁巍在讨论班上经常能给人带来惊喜。
 
“讨论班上的题目并不是每一次都能有人做出来,但袁巍即使没有做出来,也能给人很吃惊的东西。他会告诉大家他所算过的例子有哪些。他在任何时候都能拿出新东西来,不像很多人都是不会就不会了。”葛力明评价说。
 
做数学研究,一方面是解决经典问题,另一方面便是开辟新的领域。数学作为一门基础学科,要开辟新领域的困难可想而知。
 
“一开始会有几千种选择,可能这其中只有一种是正确的,把它摸索出来很难。”葛力明把数学研究比喻为众多相通并联结在一起的黑暗房间,把找到每一步解决问题的方法看成能够点亮房间的开关。“这就好像把长远的问题截成一段一段的,每个开关一打开,就能多往前走一步。但很少有人愿意去尝试,因为不知道后面有没有金子,或者只是一片黑暗”。
 
袁巍愿意做别人曾经做过的问题,也愿意去尝试每一个前进的过程,在葛力明看来,这也使袁巍比别人少走了很多弯路。
 
“最初的问题往往比较简单,很多人认为没意思也不会继续做下去。但袁巍不同,这样十步八步做出来之后,他就有了自己的想法,反而越做越有意思了。”葛力明说。
 
很多人对数学中的公理、定义颇感头疼,袁巍说:“我们学习很多知识,但到了后来我们就忘了最初为什么要学它,更不会去运用它,为了学而学是没有价值的。”
 
简单的问题背后也会有很深刻的东西,这是袁巍一直坚持的想法,敢于动手去碰问题,也成就了他为此付出的努力。
 
开辟全新研究领域
 
上世纪初,为建立量子力学的数学框架,Von Neumann开创性地引入了“算子环”这一概念,后Dixmier将其命名为von Neumann代数。其后,众多一流数学家投身于该领域。
 
时至今日,von Neumann代数已成为分析领域中最为重要的分支之一,其结果被广泛应用于现代物理学,同时衍生出非交换几何、指标理论、自由概率论等前沿领域。平行于von Neumann代数,Kadison和Singer在上世纪60年代开展了对非自伴算子代数的研究,其目的也是想给量子物理一个有效的数学基础,并为泛函分析中不变子空间问题的研究提供新方法。
 
经过近50年的发展,非自伴算子代数现已跻身于成果最为丰硕的数学领域之一。“国外研究这个领域的数学家比较多,但我国还比较少。这是一个很重要的研究领域,在此之前,人们也一直期待着有人能来开辟它。”葛力明说。
 
作为算子代数的平行分支,自伴代数与非自伴代数各自取得了长足发展,但两者却鲜有交叉。自然地,人们期望能够将自伴代数理论中已经成熟的工具引入到非自伴代数的研究中,并从非自伴代数的角度来研究自伴代数。但至今还鲜见此方面的工作。
 
2008年,在综合了三角代数、自反代数(两类典型的非自伴代数)和von Neumann代数理论的基础之上,袁巍构造了一类具有良好性质的以超有限型因子为对角子代数的自反代数。他在博士论文中详尽地讨论了此类代数的性质,完全决定了其所对应的不变子空间格,并引入格不变量,证明了此类格互不同构。
 
对不变子空间格的研究起源于上世纪70年代P.R.Halmos的工作。在研究初期,Halmos就猜测双三角格(即由3个两两交为零空间,两两并为全空间的投影生成的格)都不自反。
 
在博士论文中,袁巍利用von Neumann代数理论中的技巧,完全决定了有限von Neumann代数中的双三角格所对应的自反格,事实上这个格同胚于二维球面,这便在很一般的情况下肯定了Halmos的猜测。
 
不仅如此,此结果还暗示了二维球面上应存在某种非交换结构,并且这种结构应决定了与之相对应的非交换代数,进而建立了非交换代数与古典几何之间的联系。目前,已有一些国内外学者在关注此领域的进展,并且有结果表明,除了二维球面,其他复形也会以某些非自伴代数的不变子空间格的形式自然出现在相关的研究中。
 
这些工作开创性地将非自伴代数与自伴代数(尤其是与von Neumann代数)联系了起来,此举不仅有利于融合两个领域的研究方法及工具,同时也极大地丰富了算子代数的研究对象。有鉴于此,PNAS罕见地以两篇长文刊登了袁巍博士论文的部分内容。审稿人对袁巍的工作给予了高度评价,认为是开辟了一个全新的研究领域,对此方向的进一步研究必将极大丰富和发展算子代数理论。
 
“创造一个新学科后看它是否具有生命力,总会体现在解决老问题上,也体现在和其他学科联系运用的结果之上。”袁巍和葛力明表示,这其中有待研究的东西非常多。他们下一步的计划是丰富这一理论框架,使其生命延续下去。
 
《科学时报》 (2010-4-26 A1 要闻)

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